2010年センター試験の数学I・Aの解説 ～確率の巻～

センター試験の数学I･Aを解いたので、問題と解説を載せようと思います。

二次関数や無理数の計算を載せてもつまらないと思うので、確率の問題を解説しますね。
なお、解説しやすいように、問題の書き方を少し変えてあります。

■第4問　（2010年センター試験　数学I･A）
袋の中に赤玉5個、白玉5個、黒玉1個の合計11個の玉が入っている。
赤玉と白玉にはそれぞれ1から5までの数字が一つずつ書かれており、黒玉には何も書かれていない。
なお、同じ色の玉には同じ数字は書かれていない。
個の袋から同時に5個の玉を取り出す。

取り出した5個の中に同じ数字の赤玉と白玉の組が2組あれば得点は2点。
1組だけあれば得点は1点、1組もなければ0点とする。

1）5個の玉の取り出し方は何通りか？
2)得点が0点となる取り出し方のうち、黒玉が含まれているのは何通りで、黒玉が含まれていないのは何通りか？
3）得点が1点である確率と2点である確率を求め、得点の期待値を求めよ

■解説


1）まず、5個の玉の取り出し方。
11個の玉から5個を取り出すので、組み合わせは11C5となり、
11×10×9×8×7 / 5×4×3×2×1 = 462通り

2-1)得点が0点となる取り出し方のうち、黒玉が含まれている場合。
5個のうち、1個は黒なので、残る4個の組み合わせを考える。
その際に、赤と白の個数で場合分けをし、その後、例えば赤を4つ取る組み合わせが何通りあるかを考える
（赤、白）
ⅰ)（4、0）・・・　赤玉5個のうち4個を選ぶので、5通り。
　　　　　　　　　 選ばれない玉が1の場合、2の場合、、と数えると5通りありますよね。
ⅱ)（3、1）・・・　まず、赤玉5個のうち3個を選ぶので、5C3で10通り。
　　　　　　　　 　選ばれた赤玉が、5,4,3だとすると、白玉は5,4,3以外の1,2から1個を選ぶので、2通り。
　　　　　　　　　 これをかけ算して、20通り。
ⅲ)（2、2）・・・　赤玉5個のうち2個を選び、赤玉で選ばれた数字以外の白玉3個のうち2個を選ぶので3通り。
　　　　　　　　　 これをかけ算して、10×3で30通り。
ⅳ)（1、3）ⅱ)と同じなので、20通り
ⅴ)（0、4）ⅰ)と同じなので、5通り

合計80通り


2-2)得点が0点となる取り出し方のうち、黒玉が含まれていない場合。
（赤、白）
ⅰ)（5、0）・・・　赤玉5個のうち5個を選ぶので、1通り。
ⅱ)（4、1）・・・　まず、赤玉5個のうち4個を選ぶので、5通り。
　　　　　　　　 　選ばれた赤玉が、5,4,3,2だとすると、白玉は1のはずなので、1通り。
　　　　　　　　　 これをかけ算して、5通り。
ⅲ)（3、2）・・・　赤玉5個のうち3個を選ぶので、10通り。
　　　　　　　　　 赤玉で選ばれた数字以外の白玉2個のうち2個を選ぶので1通り。
　　　　　　　　　 これをかけ算して、10×1で10通り。
ⅳ)（2、3）ⅲ)と同じなので、10通り
ⅴ)（1、4）ⅱ)と同じなので、5通り
ⅵ)（0、5）ⅰ)と同じなので、1通り

合計32通り


3-1)得点が1点である確率
　　2)と同様に、黒玉が含まれている場合と含まれていない場合でわけて考える。

3-1-1)得点が1点となる取り出し方のうち、黒玉が含まれている場合。
5個のうち、1個は黒なので、残る4個の組み合わせを考える。
（赤、白）
ⅰ)（3、1）・・・　まず、赤玉5個のうち3個を選ぶので、10通り。
　　　　　　　　 　選ばれた赤玉が、5,4,3だとすると、白玉は5,4,3から1個を選ぶので、3通り。
　　　　　　　　　 これをかけ算して、30通り。
ⅱ)（2、2）・・・　赤玉5個のうち2個を選ぶので10通り。
　　　　　　　　　 白玉は、赤玉で選ばれた数字2個から1個を選び、選ばれなかった3個のうち1個を選ぶので、10×2×3で60通り。
ⅲ)（1、3）ⅰ)と同じなので、30通り

計120通り

3-1-2)得点が1点となる取り出し方のうち、黒玉が含まれていない場合。
（赤、白）
ⅰ)（4、1）・・・　まず、赤玉5個のうち4個を選ぶので、5通り。
　　　　　　　　 　選ばれた赤玉が、5,4,3,2だとすると、白玉は5,4,3,2から1個を選ぶので、4通り。
　　　　　　　　　 これをかけ算して、20通り。
ⅱ)（3、2）・・・　赤玉5個のうち3個を選ぶので10通り。
　　　　　　　　　 白玉は、赤玉で選ばれた数字3個から1個を選び、選ばれなかった2個のうち1個を選ぶので、10×3×2で60通り。
ⅲ)（2、3）ⅱ)と同じなので、60通り
ⅲ)（1、4）ⅰ)と同じなので、20通り

計160通り

以上の2つを足して、280通り。
確率を求めるので、280を462で割って、280/462 = 20/33

3-2)得点が2点である確率
　　同じ数字の赤と白が2組できるので、その数字を選ぶと、5C2なので、10通り。
　　(5と4を選んだ場合、赤5白5、赤4白4の4つは決まってしまう。)
　　残りの1個を残った7個から選ぶので7通り。
　　これらをかけ算して、10×7で70通り。

確率を求めるので、70を462で割って、70/462 = 5/33

3-3)期待値を求める
1点の確率は20/33なので、1×20/33
2点の確率は5/33なので、2×5/33
これらを足して期待値は、30/33 = 10/11


はぁ、疲れた。。。

実際に解くよりブログに書く方が疲れますね。

かなりわかりづらいと思いますが、ご勘弁ください。